Jerarquía de Operaciones con Números Enteros
¿Qué debes de saber?
En esta sección se combina la jerarquía de operaciones con las leyes de los signos (recuerda que los números enteros son números con signo), por lo tanto es indispensable repasar esos dos temas antes de abordar este.
Orden de operaciones
El orden de las operaciones es
1.- Paréntesis { [ ( ) ] }
2.-Potencias y raíces x²
3.- Multiplicaciones y divisiones ×, ÷
4.- Sumas y restas +, –
Es importante conocer y saber aplicar la jerarquía de operaciones para poder obtener un resultado correcto. Por ejemplo
5 + 3(4) = 8(4)= 32 Incorrecto, no se respetó la jerarquía
5 + 3(4) = 5 + 12 = 17 Correcto, si se respetó la jerarquía
Ley de los signos – Suma
En la ley de los signos de la suma se tiene que
Números con signos iguales se suman y se coloca el mismo signos.
- -5 – 3 = -8 Los dos números tienen signo negativo así que se suman y se coloca el signo negativo.
- + 9 + 4 = 13 Los dos números tienen signo positivo así que se suman y se coloca el signo positivo.
Ley de los signos – Resta
En la ley de los signos de la resta se tiene que
Números con signos distintos se restan y se coloca el signo del número más grande (con mayor valor absoluto)
- -7 + 4 = -3 El número más grande no tomando en cuenta el signo es el 7, como tiene signo negativo el resultado es negativo.
- 10 – 8 = 2 El número más grande no tomando en cuenta el signo es el 10, como tiene signo positivo el resultado es positivo.
Ley de los signos – Multiplicación
En la ley de los signos de la multiplicación se tiene que
Si multiplicas dos números con signo positivo el resultado es positivo
- (+) (+) = +
Si multiplicas dos números con diferente signo el resultado es negativo
- (-)(+) = –
- (+)(-) = –
Si multiplicas dos números con signo negativo el resultado es positivo
- (-)(-) = +
Ley de los signos – División
En la ley de los signos de la división se tiene que
Si divides dos números con signo positivo el resultado es positivo
- + ÷ + = +
Si divides dos números con diferente signo el resultado es negativo
- – ÷ + = –
- + ÷ – = –
Si divides dos números con signo negativo el resultado es positivo
- – ÷ – = +
1.- Paréntesis
Primero se realiza cualquier operación que se encuentre dentro del paréntesis (también se respeta la jerarquía dentro del paréntesis si es necesario).
Ejemplos
- -4 + (-12 + 7 ) = -4 + (- 5) = -4 -5 = -9
- (1 – 9 ) + 3 = – 8 + 3 = -5
- 15 – (8 – 6) = 15 – 2 = 13
Es importante recordar que las multiplicaciones también pueden ser representadas con paréntesis por lo que estas se harán cuando le toque el turno a la multiplicación.
Ejemplos
- -3(5 – 1 ) = -3(4) = -12
- 7(2 + 3 ) – 9 = 7(5) – 9 = 35 – 9 = 26
- -4(12÷2) = -4(6) = -24
Nota : Diferencia entre las leyes de los signos.
No es los mismo (-2) + (-3) = – 5 que (-2)(-3) = 6
No es los mismo ( 8) + ( 4 ) = 12 que (8) (4) = 32
No es lo mismo (-11) + (7) = – 4 que (-11)(7) = – 77
Ejemplos
- (6) + (-5)= 6 – 5 = 1
- (6)(-5)= – 30
- 2 – (4) = 2 – 4 = -2
- 2(-4) = -8
Recuerda, dentro de los paréntesis también se respeta la jerarquía de operaciones.
Ejemplos
- 11 – ( 10 – 2(-3) ) = 11 – (10 + 6) = 11 – 16 = -5
- -14 + (-16 ÷ 2 + 5) = -14 + (-8 + 5 ) = -14 – 3 = -17
2.-Potencias y raíces
En segundo lugar se tienen las potencias y raíces estas están en el mismo nivel así que cualquier de las dos puede hacerse primero, sin embargo si están juntas la operación debe realizarse de izquierda a derecha.
Nota: Ten cuidado, no es lo mismo -7² = – 49 que (-7)² = 49
- -2² = – 4
- (-2)² = (-2)×(-2) = 4
- -3² = – 9
- (-3)² = (-3)(-3 ) = 9
- –√25 = -5
- √-5 = No es posible (se llaman números imaginarios)
Ejemplos
- -√4 + (-3)² = -2 + 9 = 7
- √16 ÷ (- 2) = 4 ÷ (- 2) = – 2
- 5² – √9( – 4) = 25 – 3(- 4) = 25 + 12 = 37
- -4( -2³ + 1) = -4(-8 + 1) = -4( -7 ) = 28
3.-Multiplicaciones y divisiones
En tercer lugar se tienen las multiplicaciones y divisiones estas están en el mismo nivel así que cualquier de las dos puede hacerse primero, sin embargo si están juntas la operación debe realizarse de izquierda a derecha.
Ejemplos
- (-4 × 3) ÷ 2 = -12 ÷ 2 = -6
- {[36 ÷ (-6)] ÷ (-2)} = {-6 ÷ (-2)}= 3
- [20 ÷ (- 5)] – [3 × (-6)] = -4 – (-18) = – 4 + 18 = 14
- -6(3) – 2( 7 ÷ 7 ) = -18 – 2(1) = -18 – 2 = -20
4.- Sumas y restas
En cuarto lugar se tienen las sumas y restas estas también se encuentran en el mismo nivel sin embargo nota que por ser la última operación regularmente se encuentran juntas así que las operación deben realizarse de izquierda a derecha.
Ejemplos
- -12 – 2 + 5 – 6 = -14 + 5 – 6 = – 9 – 6 = -15
- 17 – 5 + 3 – 8 – 1 = 12 + 3 – 8 – 1 =15 – 8 – 1 = 7 – 1 = 6
- -3(-5) – 2² + 4 ÷ 4 = 15 – 4 + 1 = 12
Importante : Toma en cuenta que a pesar de ser la última operación, si dentro de un paréntesis hay sumas y restas entonces estas se realizaran primero.
16 – 2(8 – 1 + 3 – 4 ) = 16 – 2(6) = 16 – 12 = 4
Ejemplos – Operaciones combinadas
- -8 + [9÷(- 3)](-5) + 2² =
-8 + [9 ÷(- 3)](-5) + 4 =
-8 – 3(-5) + 4 =
-8 + 15 + 4 =
7 + 4 =
11
- (-√49 ÷ 7) × ( – 2)³ – 12 + 8(- 5 + 4 ) =
(-7 ÷ 7) × ( – 2)³ – 12 + 8(– 1 ) =
-1 × ( – 2)³ – 12 + 8(- 1 ) =
– 1 × ( – 8) – 12 + 8(- 1 ) =
8 – 12 – 8 =
-12
Signos de agrupación y números enteros
( ), [ ] y { }
Orden de signos de agrupación ( ), [ ] y { }
Los signos de agrupación se aplican para establecer un orden en las operaciones regularmente se usan con operaciones muy largas. El orden con el que se realizan es el siguiente
1.- Paréntesis ( )
2.- Corchetes [ ]
3.- Llaves { }
Esto indica que primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis, después las que están dentro de los corchetes y al final los que se encuentran dentro de las llaves, por lo regular se hacen de adentro hacía afuera.
Ejemplos
- -(11 – 5 ) = -6
- [-(8-3) – 2³ ] = [-5 – 8] = – 13
- [ 10 – 2 ( 3 – 9) ] = [10 – 2(- 6)] = [10+12] = 22
- -{ 9 + [2(-7 + 4) ] } = -{9 + [2(-3)]} =- {9-6}= -3
Nota 1: El signo ubicado fuera de algunos de estos signos de agrupación tiene una influencia directa en lo que se encuentra en su interior.
Ejemplos
- -(- 5) = 5
- -(8 – 2) = – (6)= -6
- -[3(-4)]=-[-12] = 12
- -[(5 – 3 ) + 1] = -[2 + 1] = – 3
Nota 2: Recuerda que cuando hay un número fuera de los signos de agrupación, significa que debes multiplicar dicho número por el resultado obtenido dentro de los signos de agrupación.
Ejemplos
2( -5 + 3) = 2( -2) = -4
-4[ 7 + 3 ] = – 4 [10] = – 40
-6{ -2 – 9 } = -6{-11} = 66
Cuando te acostumbres y tengas práctica podrás realizar varias operaciones al mismo tiempo de diferente nivel en la jerarquía, llevando siempre un orden, con el objetivo de ahorrar algunos pasos.
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Ejemplos- Jerarquía de operaciones con números enteros
| Nivel 1 - Paréntesis |
|---|
| - 5 + (- 9 + 4)
-5 + (-5) -5 - 5 -10 |
| (2 - 9) - 8
- 7 - 8 -15 |
| - 14 - (13 - 20) + (-10 + 1)
- 14 - (-7) + (-9) - 14 + 7 - 9 - 16 |
| (17 - 6) - ( - 4 + 1) + (5 - 9)
11 - (-3) + (-4) 11 + 3 - 4 10 |
| Nivel 2 - Potencias y raíces |
|---|
| Recuerda no es lo mismo
(-2)² = 4 -2² = - 4 |
| - 6 - 3²
-6 - 9 -15 |
| -√49 + 10
- 7 + 10 3 |
|
- 67 + (-4)² - √25 + 12
- 67 + 16 - 5 + 12 -51 - 5 + 12 -68 |
| Nivel 3 - Multiplicación y división |
|---|
| - 17 + 4(-8)
-17 - 32 - 49 |
| -42÷7 + 18
-6 + 18 12 |
| 90 - 5·4 + 21÷3 - 1
90 - 20 + 7 - 1 70 - 7 + 1 64 |
| -2(-10 ÷ 2) + 4·3 - 5(9÷(-3))
-2(-5) + 12 - 5(-3) 10 + 12 + 15 37 |
| Combinando operaciones |
|---|
| -95 - 4(5 - 6) - 2² + 49÷7 - √64
-95 - 4(-1) - 4 + 7 - 8 -95 + 4 - 4 + 7 - 8 -96 |
| -8(13 - 9 + 5²) - 7·2 + √36(12÷4)
-8(4 + 25) - 14 + 6(3) -8(29) - 14 + 18 -232 - 14 + 8 -238 |
|
41 + 3(10÷2) + √16 - (23 - 15) - 2³
41 + 3(5) + 4 - 8 - 8 41 + 15 + 4 - 8 - 8 44 |
Signos de agrupación
( ), [ ] y { }
| Paréntesis y corchetes |
|---|
| [-26 - 2(9 - 10) - (- 1)³]
[-26 -2(-1) - (-1)] [-26 + 2 + 1] -23 |
| -72 -[5(11 - 2²) + √81÷3]
-72 - [5(11 - 4) + 9÷3] -72 - [5(7) + 3] -72 - [35 + 3] -72 - [38] -72 - 38 -110 |
| -7(8÷2) + 6[-2(38 - 20) + 3²]
-7(4) + 6[-2(18) + 9] -28 + 6[-36 + 9] -28 + 6[-27] -28 - 162 190 |
| Paréntesis, corchetes y llaves |
|---|
| -2 - {35 - 3[(- 11 -2 ) + √81]}
-2 - {35 - 3[-13 + 9]} -2 - {35 - 3[-4]} -2 - {35 + 12} -2 - 47 -49 |
| 4² - 2{9 - 2[8 - (50÷5)] - 6}
4² - 2{9 - 2[8 - 10] - 6} 4² - 2{9 - 2[-2] - 6} 4² - 2{9 + 4 - 6} 4² - 2{7} 16 - 14 2 |
|
{-80 - [60÷10 - 7] - 4[(20-15) + 9]} - 17
{-80 - [6 - 7] - 4[5 + 9]} - 17 {-80 - [-1] - 4[14]} - 17 {-80 + 1 - 56} - 17 {-135} - 17 -135 - 17 -152 |
Ejercicios – Jerarquía de Operaciones con números enteros
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