Jerarquía de Operaciones con Números Enteros

 ¿Qué debes de saber?

En esta sección se combina la jerarquía de operaciones con las leyes de los signos (recuerda que los números enteros son números con signo), por lo tanto es indispensable repasar esos dos temas antes de abordar este.

Jerarquía de operaciones.

Leyes de los signos combinadas.

Orden de operaciones

El orden de las operaciones es 

1.- Paréntesis { [ (  ) ] }

2.-Potencias y raíces x²

3.- Multiplicaciones y divisiones ×, ÷

4.- Sumas y restas +, –

Es importante conocer y saber aplicar la jerarquía de operaciones para poder obtener un resultado correcto. Por ejemplo

5 + 3(4) = 8(4)= 32 Incorrecto, no se respetó la jerarquía

5 + 3(4) = 5 + 12 = 17 Correcto, si se respetó la jerarquía

Ley de los signos – Suma

En la ley de los signos de la suma se tiene que

Números con signos iguales se suman y se coloca el mismo signos. 

  • -5 – 3 = -8     Los dos números tienen signo negativo así que se suman y se coloca el signo negativo.
  • + 9 + 4 = 13   Los dos números tienen signo positivo así que se suman y se coloca el signo positivo.

Ley de los signos – Resta

En la ley de los signos de la resta se tiene que

Números con signos distintos se restan y se coloca el signo del número más grande (con mayor valor absoluto)

  • -7 + 4 = -3 El número más grande no tomando en cuenta el signo es el 7, como tiene signo negativo el resultado es negativo.
  • 10 – 8 = 2 El número más grande no tomando en cuenta el signo es el 10, como tiene signo positivo el resultado es positivo.

Ley de los signos – Multiplicación

En la ley de los signos de la multiplicación se tiene que

Si multiplicas dos números con signo positivo el resultado es positivo

  • (+) (+) = + 

Si multiplicas dos números con diferente signo el resultado es negativo

  • (-)(+) = – 
  • (+)(-) = –

Si multiplicas dos números con signo negativo el resultado es positivo

  • (-)(-) = +

Ley de los signos – División

En la ley de los signos de la división se tiene que

Si divides dos números con signo positivo el resultado es positivo

  • + ÷ + = + 

Si divides dos números con diferente signo el resultado es negativo

  • – ÷ + = – 
  • + ÷ – = –

Si divides dos números con signo negativo el resultado es positivo

  • – ÷ – = +

1.- Paréntesis

Primero se realiza cualquier operación que se encuentre dentro del paréntesis (también se respeta la jerarquía dentro del paréntesis si es necesario).

Ejemplos

  • -4 + (-12 + 7 ) = -4 + (- 5) = -4 -5 = -9
  • (1 – 9 ) + 3 = – 8 + 3 = -5
  • 15 – (8 – 6) = 15 – 2 = 13

Es importante recordar que las multiplicaciones también pueden ser representadas con paréntesis por lo que estas se harán cuando le toque el turno a la multiplicación.

Ejemplos

  • -3(5 – 1 ) = -3(4) = -12
  • 7(2 + 3 ) – 9 = 7(5) – 9 = 35 – 9 = 26
  • -4(12÷2) = -4(6) = -24

Nota : Diferencia entre las leyes de los signos.

No es los mismo (-2) + (-3) = – 5 que (-2)(-3) = 6

No es los mismo ( 8) + ( 4 ) = 12 que (8) (4) = 32

No es lo mismo (-11) + (7) = – 4 que (-11)(7) = – 77

Ejemplos

  • (6) + (-5)= 6 – 5 = 1
  • (6)(-5)= – 30
  • 2 – (4) = 2 – 4 = -2
  • 2(-4) = -8

Recuerda, dentro de los paréntesis también se respeta la jerarquía de operaciones.

Ejemplos

  • 11 – ( 10 – 2(-3) ) = 11 – (10 + 6) = 11 – 16 = -5
  • -14 + (-16 ÷ 2 + 5) = -14 + (-8 + 5 ) = -14 – 3 = -17

     2.-Potencias y raíces

    En segundo lugar se tienen las potencias y raíces estas están en el mismo nivel así que cualquier de las dos puede hacerse primero, sin embargo si están juntas la operación debe realizarse de izquierda a derecha. 

    Nota: Ten cuidado, no es lo mismo -7² = – 49 que (-7)² = 49

    • -2² = – 4
    • (-2)² = (-2)×(-2) = 4
    • -3² = – 9
    • (-3)² = (-3)(-3 ) = 9
    • √25 = -5
    • √-5 = No es posible (se llaman números imaginarios)

    Ejemplos

    • -√4 + (-3)² = -2 + 9 = 7
    • √16 ÷ (- 2) = 4 ÷ (- 2) = – 2
    • 5² – √9( – 4) = 25 – 3(- 4) = 25 + 12 = 37
    • -4( -2³ + 1) = -4(-8 + 1) = -4( -7 ) = 28

    3.-Multiplicaciones y divisiones

    En tercer lugar se tienen las multiplicaciones y divisiones estas están en el mismo nivel así que cualquier de las dos puede hacerse primero, sin embargo si están juntas la operación debe realizarse de izquierda a derecha.

    Ejemplos                                      

    • (-4 × 3) ÷ 2 = -12 ÷ 2 = -6
    • {[36 ÷ (-6)] ÷ (-2)} = {-6 ÷ (-2)}= 3
    • [20 ÷ (- 5)] – [3 × (-6)] = -4 – (-18) = – 4 + 18 = 14
    • -6(3) – 2( 7 ÷ 7 ) =  -18 – 2(1) = -18 – 2 = -20

    4.- Sumas y restas

    En cuarto lugar se tienen las sumas y restas estas también se encuentran en el mismo nivel sin embargo nota que por ser la última operación regularmente se encuentran juntas así que las operación deben realizarse de izquierda a derecha. 

    Ejemplos

    • -12 – 2 + 5 – 6  = -14 + 5 – 6 = – 9 – 6 = -15
    • 17 – 5 + 3 – 8 – 1 = 12 + 3 – 8 – 1 =15 – 8 – 1 = 7 – 1 = 6
    • -3(-5) – 2² + 4 ÷ 4 = 15 – 4 + 1 = 12

    Importante : Toma en cuenta que a pesar de ser la última operación, si dentro de un paréntesis hay sumas y restas entonces estas se realizaran primero. 

    16 – 2(8 – 1 + 3 – 4 ) = 16 – 2(6) = 16 – 12 = 4

    Ejemplos – Operaciones combinadas

    • -8 + [9÷(- 3)](-5) + 2² =

    -8 + [9 ÷(- 3)](-5) + 4 =

    -8 – 3(-5) + 4 =

    -8 + 15 + 4 =

    7 + 4 =

    11

    • (-√49 ÷ 7) × ( – 2)³ – 12 + 8(- 5 + 4 ) =

    (-7 ÷ 7) × ( – 2)³ – 12 + 8(– 1 ) =

    -1 × ( – 2)³ – 12 + 8(- 1 ) =

    – 1 × ( – 8) – 12 + 8(- 1 ) =

    8 – 12 – 8 =

    -12

    Signos de agrupación y números enteros

    ( ), [ ] y { }

    Orden de signos de agrupación ( ), [ ] y { }

    Los signos de agrupación se aplican para establecer un orden en las operaciones regularmente  se usan  con operaciones muy largas. El orden con el que se realizan es el siguiente

    1.- Paréntesis ( )

    2.- Corchetes [ ]

    3.- Llaves { }

    Esto indica que primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis, después las que están dentro de los corchetes y al final los que se encuentran dentro de las llaves, por lo regular se hacen de adentro hacía afuera.

    Ejemplos

    • -(11 – 5 ) = -6
    • [-(8-3) – 2³ ] = [-5 – 8] = – 13
    • [ 10 – 2 ( 3 – 9) ] = [10 – 2(- 6)] = [10+12] = 22 
    • -{ 9 + [2(-7 + 4) ] } = -{9 + [2(-3)]} =- {9-6}= -3 

    Nota 1: El signo ubicado fuera de algunos de estos signos de agrupación tiene una influencia directa en lo que se encuentra en su interior.

    Ejemplos

    • -(- 5) = 5
    • -(8 – 2) = – (6)= -6
    • -[3(-4)]=-[-12] = 12
    • -[(5 – 3 ) + 1] = -[2 + 1] = – 3

    Nota 2: Recuerda que cuando hay un número fuera de los signos de agrupación, significa que debes multiplicar dicho número por el resultado obtenido dentro de los signos de agrupación.

    Ejemplos

    2( -5 + 3) = 2( -2) = -4

    -4[ 7 + 3 ] = – 4 [10] = – 40

    -6{ -2 – 9 } = -6{-11} = 66

    Cuando te acostumbres y tengas práctica podrás realizar varias operaciones al mismo tiempo de diferente nivel en la jerarquía, llevando siempre un orden, con el objetivo de ahorrar algunos pasos.

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    Ejemplos- Jerarquía de operaciones con números enteros

    Nivel 1 - Paréntesis
    - 5 + (- 9 + 4)
    -5 + (-5)
    -5 - 5
    -10
    (2 - 9) - 8
    - 7 - 8
    -15
    - 14 - (13 - 20) + (-10 + 1)
    - 14 - (-7) + (-9)
    - 14 + 7 - 9
    - 16
    (17 - 6) - ( - 4 + 1) + (5 - 9)
    11 - (-3) + (-4)
    11 + 3 - 4
    10
    Nivel 2 - Potencias y raíces
    Recuerda no es lo mismo
    (-2)² = 4
    -2² = - 4
    - 6 - 3²
    -6 - 9
    -15
    -√49 + 10
    - 7 + 10
    3
    - 67 + (-4)² - √25 + 12
    - 67 + 16 - 5 + 12
    -51 - 5 + 12
    -68
    Nivel 3 - Multiplicación y división
    - 17 + 4(-8)
    -17 - 32
    - 49
    -42÷7 + 18
    -6 + 18
    12
    90 - 5·4 + 21÷3 - 1
    90 - 20 + 7 - 1
    70 - 7 + 1
    64
    -2(-10 ÷ 2) + 4·3 - 5(9÷(-3))
    -2(-5) + 12 - 5(-3)
    10 + 12 + 15
    37
    Combinando operaciones
    -95 - 4(5 - 6) - 2² + 49÷7 - √64
    -95 - 4(-1) - 4 + 7 - 8
    -95 + 4 - 4 + 7 - 8
    -96
    -8(13 - 9 + 5²) - 7·2 + √36(12÷4)
    -8(4 + 25) - 14 + 6(3)
    -8(29) - 14 + 18
    -232 - 14 + 8
    -238
    41 + 3(10÷2) + √16 - (23 - 15) - 2³
    41 + 3(5) + 4 - 8 - 8
    41 + 15 + 4 - 8 - 8
    44

    Signos de agrupación

    ( ), [ ] y { }

    Paréntesis y corchetes
    [-26 - 2(9 - 10) - (- 1)³]
    [-26 -2(-1) - (-1)]
    [-26 + 2 + 1]
    -23
    -72 -[5(11 - 2²) + √81÷3]
    -72 - [5(11 - 4) + 9÷3]
    -72 - [5(7) + 3]
    -72 - [35 + 3]
    -72 - [38]
    -72 - 38
    -110
    -7(8÷2) + 6[-2(38 - 20) + 3²]
    -7(4) + 6[-2(18) + 9]
    -28 + 6[-36 + 9]
    -28 + 6[-27]
    -28 - 162
    190
    Paréntesis, corchetes y llaves
    -2 - {35 - 3[(- 11 -2 ) + √81]}
    -2 - {35 - 3[-13 + 9]}
    -2 - {35 - 3[-4]}
    -2 - {35 + 12}
    -2 - 47
    -49
    4² - 2{9 - 2[8 - (50÷5)] - 6}
    4² - 2{9 - 2[8 - 10] - 6}
    4² - 2{9 - 2[-2] - 6}
    4² - 2{9 + 4 - 6}
    4² - 2{7}
    16 - 14
    2
    {-80 - [60÷10 - 7] - 4[(20-15) + 9]} - 17
    {-80 - [6 - 7] - 4[5 + 9]} - 17
    {-80 - [-1] - 4[14]} - 17
    {-80 + 1 - 56} - 17
    {-135} - 17
    -135 - 17
    -152

    Ejercicios – Jerarquía de Operaciones con números enteros

    Resuelve y ve si tu respuesta es correcta

    Resuelve



    Resuelve



    Resuelve



    Resuelve



    Resuelve



    Resuelve



    Escoge la respuesta que consideres correcta

    ¿Cuál es el resultado?






    ¿Cuál es el resultado?






    ¿Cuál es el resultado?






    ¿Cuál es el resultado?






    ¿Cuál es el orden correcto con el que se deben de realizar las operaciones? (Jerarquía de operaciones)

    ¿Cuál es el orden de los signos de agrupación?

    ¿Cuál es el resultado?








    ¿Cuál es el resultado?








    Resuelve las operaciones y luego selecciona para ver la respuesta

    Aplica la jerarquía de operaciones 








    Aplica el orden de los signos de agrupación y la jerarquía de operaciones








    Selecciona la respuesta correcta aplicando la jerarquía de operaciones, signos de agrupación y leyes de los signos.

    ¿Cuál es el resultado final?

    Jerarquía de operaciones con números enteros





    ¿Cuál es el resultado final?

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    ¿Cuál es el resultado final?

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