¿Qué es un polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de términos, donde cada término es el producto de un número (llamado coeficiente) y una variable elevada a un exponente entero no negativo.

Por ejemplo, estos son polinomios:

• 5x + 4
• 4a³ + 2a² – a
• x⁴ – 2x³ – 7x² + 6

Características de un polinomio:

🔵Sus exponentes son números enteros no negativos (0, 1, 2, 3, …).

🔵Puede tener una o más variables (como x, y , z).

🔵No contiene raíces, fracciones con variables en el denominador ni exponentes negativos.

Tipos de polinomios según el número de variables:

Un polinomio de una variable es aquel que contiene solo una letra (o variable). Los términos en este polinomio dependen exclusivamente de esa variable.

Ejemplo:  9x² + 2x – 1

El grado de un polinomio de una variable es el mayor exponente al que está elevada la variable.

Un polinomio multivariable es aquel que tiene más de una variable. En este tipo de polinomio, las diferentes variables se combinan en los términos.

Ejemplo: 4a³b + 2a²b² -ab + 8

El grado de un polinomio multivariable se obtiene sumando los exponentes de las variables de cada término y tomando el mayor valor de esos exponentes en todo el polinomio.

Clasificación de los polinomios según el número de términos:

🟢Monomios: Un solo término (ejemplo: 5x³).

🟢Binomios: Dos términos (ejemplo: 5x³ – 3x²).

🟢Trinomios: Tres términos (ejemplo: 5x³ – 3x² + 7).

Antes de comenzar, te recomiendo repasar los siguientes temas:

Expresiones algebraicas – Clasificación de expresiones algebraicas y términos semejantes.

Suma y resta de monomios.

Los polinomios son fundamentales en matemáticas porque se usan en ecuaciones, funciones y muchos problemas del mundo real. ¡Dominar su uso te ayudará en álgebra y cálculo!

Suma de polinomios – Procedimiento 1  

Suma los siguientes polinomios:

5x² + 2x – 2 + (-8x – 4x² + 7) 

Paso 1: Eliminar los paréntesis.

El signo «+» antes de un paréntesis afecta a todos los términos dentro de él, pero no cambia sus signos, ya que sumar una expresión equivale a escribirla sin modificaciones.

En cambio, si el signo fuera «-«, afectaría a todos los términos dentro del paréntesis, cambiando sus signos.

Dado que en este caso el signo es positivo, los términos permanecen iguales. Por lo tanto, al eliminar los paréntesis, la expresión queda:

5x² + 2x – 2 – 8x – 4x² + 7 

Paso 2: Identificar los términos semejantes.

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas variables con los mismos exponentes). El signo siempre forma parte del término. Se utilizan colores para identificarlos.

5x² + 2x – 2 – 8x – 4x² + 7 

Paso 3 : Agrupar los términos semejantes.

Se agrupan los términos semejantes (este paso no es necesario si ya dominas las leyes de los signos). La expresión sigue siendo la misma, pero ahora los términos semejantes están identificados:

5x² – 4x² + 2x – 8x – 2 + 7 

Paso 4: Reducir los términos semejantes.

Ahora, realizamos las operaciones:

5x² – 4x² = x²

2x – 8x = -6x

-2 + 7 = 5

Parte 5: Resultado.

Como ya no hay términos semejantes, la expresión no se puede reducir más.

x² -6x + 5

Ejemplo 1

Suma los polinomios:

7a³ + 8a² – a  + (-3a³ – a² + 9a)

= 7a³ + 8a² – a – 3a³ – a² + 9a  

= 7a³ + 8a² – a -3a³ – a² + 9a  

= 7a³ – 3a³ + 8a²- a² – a + 9a

Por lo tanto, el resultado es:

4a³ + 7a² + 8a

Ejemplo 2

Suma los polinomios:

-6x³+ 2x³ – 7y + (9xy – 5x³ – y) 

= -6x³+ 2x³ – 7y + 9xy – 5x³ – y 

= -6x³+ 2x³ – 7y + 9xy – 5x³ – y 

= -6x³+ 2x³- 5x³ + 9xy – 7y – y

Por lo tanto, el resultado es: 

-9x³ + 9xy – 8y

💡Recuerda

Al restar polinomios, es muy importante prestar atención al orden y a los signos. Al igual que en la resta de números, cambiar el orden puede afectar el resultado.

De 8 resta 2:  8 – 2 = 4

Resta 8 de 2:  2 – 8  = -4

Lo mismo sucede con los polinomios, pero además, cuando hay un signo negativo antes de un paréntesis, este cambia los signos de todos los términos dentro del paréntesis.

– 4w² -(-9w³) = -4w² + 9w³ 

Siempre que restes polinomios, distribuye el signo negativo antes de operar. Así evitarás errores y obtendrás el resultado correcto.

Suma de polinomios – Procedimiento 2

Suma los polinomios:

-3a + 8b² – 7 + ( 5a -2b² + 1) 

Paso 1: Eliminar los paréntesis.

El signo «+« fuera del paréntesis se distribuye a todos los términos dentro de él, pero no modifica sus signos, ya que sumar una expresión equivale a escribirla tal como está.

 -3a + 8b² – 7 + 5a -2b² + 1 

Paso 2: Identificar los términos semejantes.

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas variables con los mismos exponentes). El signo siempre forma parte del término. Se utilizan colores para identificarlos.

-3a + 8b² – 7 + 5a -2b² + 1 

Paso 3 : Agrupar y reducir los términos semejantes.

Se agrupan los términos semejantes en la misma columna. Observa la imagen.

Parte 4: Resultado.

Como ya no hay términos semejantes, la expresión no se puede reducir más. Por lo tanto, el resultado es:

6b² + 2a – 6

Perímetro de figuras

El perímetro de cualquier figura se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.

Por ejemplo, el perímetro del siguiente rectángulo es:

P = 8 + 8 + 13 + 13 = 42 cm.

Perímetro de figuras geométricas.

En esta sección, se combinará el cálculo del perímetro con la suma y resta de polinomios para expresar y resolver problemas relacionados con figuras geométricas.

Perímetro del trapecio

El perímetro del siguiente trapecio es:

Perímetro = 10x² + 10x² + 12xy + 8w  = 20x² + 12xy + 8w